LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

ÔN TẬP TOÁN 9 –GIỮA KÌ II-KNTT
A. Bài tập trắc nghiệm
1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng duy nhất
Câu 1. Giá trị của hàm số
A.

tại

B.

Câu 2. Cho hàm số

là
C.

. Giá trị của

A.

B.

D.
để đồ thị hàm số đi qua điểm

C.

là

D.

Câu 3. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.

B.

C.

D.

Câu 4. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A.

B.

C.

D.

Câu 5. Cho phương trình
vô nghiệm khi
A.

với

B.

C.

Câu 6. Cho phương trình
là

với

A.

B.

C.

D.

Câu 7. Tổng các giá trị của
A.

A.

để phương trình

B.

Câu 8. Các giá trị của
,

.

C.
để phương trình

B.

có biệt thức

. Phương trình đã cho
D.

có

, khi đó phương trình đã cho có nghiệm

có nghiệm

là

D.
có nghiệm kép là

C.

D.

,
Trang 1

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Câu 9. Điều kiện của tham số
A.

để phương trình

vô nghiệm là

C.

D. Không tồn tại

B.

Câu 10. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số

A.

.

C.

.

Câu 11. Đồ thị hàm số

A.

?

B.

.

D.

.

đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

B.

Câu 12. Giao điểm của đồ thị hàm số
A.

.

B.

C.

D.

và đường thẳng
C.

Câu 13. Cho đường cong trong hình bên dưới là một parabol

là
D.
.

Trang 2

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Khi đó, hệ số

là

A.

B.

C.

D.

Câu 14. Chọn phát biểu đúng. Phương trình

A.

có hai nghiệm

B.

C.

D.

Câu 15. Chọn phát biểu đúng. Phương trình
A. Phương trình có hai nghiệm là
C. Phương trình có hai nghiệm là

A.

.

và
và tích là

.
với

B.

. Khi đó hai số đó là nghiệm của phương trình
C.

D.

Câu 17. Tổng hai nghiệm của phương trình
A.

B.

là
C.

D.

Câu 18. Cho hai số tự nhiên biết rằng số lớn hơn hai lần số bé là
bằng
. Tìm số bé hơn.
A.

B.

và hiệu các bình phương của chúng

C.

D.

Câu 19. Tích của hai số liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là
A.

. Khi đó:

.

và

D. Phương trình có hai nghiệm là
Câu 16. Cho hai số có tổng là
nào dưới đây?

có

và

B.

. Khi đó

. Số bé hơn là

C.

D.

Câu 20. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn
A. cắt ba cạnh của tam giác.

B. đi qua ba đỉnh của tam giác.

C. tiếp xúc với hai cạnh của tam giác.

D. tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

Câu 21. Cho tam giác

ngoại tiếp đường tròn tâm

A. cắt ba cạnh của tam giác
C. đi qua ba đỉnh của tam giác

.

khi đó đường tròn tâm

B. nội tiếp tam giác
.

.

D. ngoại tiếp tam giác

.

Câu 22. Cho tam giác
có
,
,
trong các khẳng định sau? Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
A. trung điểm cạnh

B. trung điểm cạnh

. Chọn khẳng định đúng
là

.
Trang 3

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

C. trung điểm cạnh

.

D. là giao của ba đường phân giác.

Câu 23. Góc nội tiếp có số đo
A. bằng hai lần số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
B. bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
C. bằng số đo cung bị chắn.

D. bằng nửa số đo cung bị chắn.

Câu 24. Hình nào dưới đây biểu diễn góc nội tiếp?

A. Hình 1.

B. Hình 2.

Câu 25. Cho tam giác

C. Hình 3.

nội tiếp đường tròn

D. Hình 4.
biết

và

. Bán kính đường tròn

là

A.

B.

C.

D.

Câu 26. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Tứ giác có bốn đỉnh thuộc đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
B. Mỗi hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn.
C. Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
D. Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 27. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối nhau bằng
A.

B.

C.

D.

Câu 28. Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn trong các hình vẽ dưới đây?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 29. Cho các hình: Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, tam giác cân, tam giác đều,
hình bình hành. Có bao nhiêu hình là đa giác đều?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 30. Mỗi góc trong của lục giác đều có số đo là
A.

B.

C.

D.

2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d)
Trang 4

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Câu 31. Cho hàm số
a) Để

có đồ thị là parabol

đi qua điểm

thì

b) Với

thì đồ thị

lúc này có dạng:

c) Với

thì đồ thị

đi qua điểm

d) Với

thì các điểm trên

.

là

Câu 32. Cho phương trình
a) Biệt thức

.

;
(

.

;

(1) với

a) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

a) Đồ thị hàm số

.

thì phương trình (1) có hai nghiệm
không phụ thuộc vào
, cho parabol

là tham số.

.

b) Hệ thức Viète của phương trình là

Câu 34. Trên mặt phẳng tọa độ
là tham số).

.

.

Câu 33. Cho phương trình

d) Hệ thức liên hệ giữa

tọa độ.

là tham số).

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

c) Phương trình vô nghiệm khi

c) Chỉ với

cách đều hai trục

thỏa mãn
là

.
.

và đường thẳng

(

có dạng:

Trang 5

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

b) Với

thì

cắt

tại hai điểm phân biệt có hoành độ là

c) Với

thì

và

không cắt nhau.

d) Với

thì

cắt

tại hai điểm phân biệt.

Câu 35. Một đoàn xe nhận chở
ít hơn

và

.

tấn hàng. Khi sắp khởi hành, đoàn có thêm

tấn so với dự định. Gọi

(chiếc) là số lượng xe lúc đầu của đoàn

a) Khối lượng hàng thực tế mà mỗi xe phải chở là
b) Phương trình mô tả bài toán trên là
c) Số lượng xe ban đầu của đoàn là
d) Ban đầu mỗi xe phải chở

xe nữa nên mỗi xe chở
.

(tấn).
.

chiếc.

tấn hàng.

Câu 36. Một ca nô một khúc sông dài
, rồi ngược dòng khúc sông ấy mất 4 giờ 30 phút. Biết vận
tốc của dòng nước là
. Gọi vận tốc thực của ca nô là
a) Thời gian ca nô xuôi dòng là

giờ.

b) Thời gian ca nô ngược dòng là

giờ.

c) Vì ca nô xuôi dòng một khúc sông dài

, rồi ngược dòng khúc sông ấy

mất 4 giờ 30 phút nên ta có phương trình
d) Vận tốc thực của ca nô là
Câu 37. Cho tam giác
là giao điểm của

.
.

nhọn, đường cao
với đường tròn

và nội tiếp đường tròn

đường kính

. Gọi

.

Trang 6

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

a)

.

b)

.

Câu 38. Cho đường tròn

và điểm

c)

.

nội tiếp.

c)

.

qua

điểm của
và
đường tròn
a) Các điểm
c)

là trọng tâm tam

.

có tam giác
là giao điểm của
b)

là tam giác nhọn. Vẽ các đường cao
và
.

.

c)

.

.

Câu 40. Cho tam giác
thẳng

và

của

d)

Câu 39. Cho tứ giác nội tiếp
của tam giác
. Gọi

d)

là trung điểm

b)

.

a)

là hình thang cân.

ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến

đường tròn
với
là các tiếp điểm. Gọi
giác
. Gọi là trung điểm của
.
a) Tứ giác

d)

vuông tại
song song với
. Dựng

nội tiếp trong đường tròn tâm
, đường thẳng

vuông góc

qua

với

song song với

nằm trên

cùng thuộc một đường tròn.

là hình bình hành.

,

Dựng đường
, gọi

là giao

là giao điểm của

b)

với

.

d)

.

3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Viết câu trả lời/ đáp án mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Câu 41. Tính tổng các giá trị của tham số
kép.

để phương trình

có nghiệm

Trả lời:
Câu 42. Cho parabol
cắt

và đường thẳng

. Tìm

để đường thẳng

tại điểm có tung độ
Trả lời:

Câu 43. Gọi

là nghiệm của phương trình

. Tính giá trị của biểu thức

.

Trả lời:
Câu 44. Một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng tăng thêm
thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng
ban đầu là bao nhiêu mét?

Hỏi chu vi của hình chữ nhật

Trả lời:
Trang 7

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Câu 45. Cho phương trình

. Tìm giá trị của tham số

hai nghiệm thỏa mãn

thỏa mãn

để phương trình có

đạt giá trị lớn nhất.
Trả lời:

Câu 46. Cho tam giác
vuông tại
ngoại tiếp tam giác đó.

với

. Tính bán kính đường tròn

Trả lời:
Câu 47. Cho tam giác

đều nội tiếp đường tròn

. Tính số đo cung nhỏ

.

Trả lời:
Câu 48. Tổng số đo các góc trong của một đa giác đều
nhiêu?

cạnh là

thì số cạnh của đa giác đó là bao

Trả lời:
Câu 49. Cho hình vẽ sau:

Hỏi số đo góc

bằng bao nhiêu độ?
Trả lời:

Câu 50. Tính bán kính
của đường tròn ngoại tiếp hình vuông
đến hàng phần mười)

cạnh

. (Kết quả làm tròn

Trả lời:
B. Bài tập tự luận
1. Số
Dạng 1. Hàm số và đồ thị hàm số
Bài 1. Cho đồ thị hàm số
a) Vẽ đồ thị

có đồ thị

.
.

.

b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng
c) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) các đều hai trục của tọa độ.
Bài 2. Cho hàm số

có đồ thị hàm số

.
Trang 8

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

a) Xác định

biết

b) Vẽ đồ thị

.

c) Tìm điểm thuộc

đi qua điểm

có hoành độ bằng

Bài 3. Cho hàm số
1. Xác định

.

với

.

.

để đồ thị hàm số đi qua điểm

2. Với giá trị

.

vừa xác định được, hãy:

a) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
b) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng

.

c) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục tọa độ.
Bài 4. Cho hàm số

với

là tham số. Tìm

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm

.

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm

biết

c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị
Bài 5. Cho hàm số

để:

là nghiệm của hệ phương trình

.

tìm được ở trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm

.

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng
c) Tìm

sao cho

.

thuộc parabol.

d) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
Dạng 2. Ứng dụng thực tế của đồ thị hàm số
Bài 1. Một hòn đá rơi xuống một cái hang, khoảng cách rơi xuống được cho bởi công thức
trong đó là thời gian tính bằng giây.
a) Hãy tính độ sâu của hang nếu mất
b) Nếu hang sâu

,

để hòn đá chạm đáy.

thì phải mất bao lâu để hòn đá chạm tới đáy.

Bài 2. Một cây cầu treo tháp đôi cao
dạng đồ thị của hàm số

so với mặt của cây cầu và cách nhau

Các dây cáp có

và được treo trên các đỉnh tháp như hình vẽ.

Trang 9

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

a) Tính độ dài đoạn
của dây cáp, biết điểm
của cây cầu bằng phẳng)
b) Nếu có đường thẳng vuông góc với trục

cách tâm

tại điểm

a) Xác định hệ số

(giả sử mặt cầu

và đồng thời cắt parabol hai điểm

(như hình vẽ) thì khoảng cách hai điểm

Bài 3. Thiết diện một hồ nước là hình parabol
vẽ), biết rằng bề ngang của thiết diện là

của cây cầu là

lần lượt đến tâm

là bao nhiêu?

(chọn hệ trục tọa độ vuông góc với
, bề sâu của thiết diện

như hình
.

.

b) Vẽ đồ thị hàm số với hệ số

vừa tìm được trên mặt phẳng tọa độ

Bài 4. Đường đi của quả bóng theo quỹ đạo là một parabol
họa), đá một quả bóng bay bổng lên cao đến vị trí
cách
.

.

. Một cầu thủ ở vị trí
(hình minh
cách mặt đất
và rơi xuống vị trí

Trang 10

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Xác định tọa độ các điểm

và

trong hệ trục

này và tìm giá trị của hệ số

Bài 5. Quãng đường đi (đơn vị là mét) của một xe ô tô đi được trong thời gian
thức
a) Xác định hệ số

. Giả sử ô tô trên đi được quãng đường

.

giây được cho bởi công

sau khoảng thời gian

giây.

.

b) Hỏi xe ô tô đi trong bao lâu thì được quãng đường

so với vị trí ban đầu?

Dạng 3. Giải phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
e)

; b)

;

c)

; f)

i)

;
; k)

;

g)

d)
;

; l)

;

;

h)

;

m)

.

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)

;

d)
g)

b)
;

;

c)

e)

;

;

h)

;
f)

;

.

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)

;

c)

b)
;

;

d)

.

Dạng 4. Xác định số nghiệm của phương trình chứa tham số.
Bài 1. Cho phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt.

với
b) Có nghiệm kép.

Bài 2. Cho phương trình
a) Giải phương trình với
b) Chứng minh rằng với mọi

là tham số. Tìm

c) Vô nghiệm.
với

để phương trình:

d ) Có đúng một nghiệm
là tham số.

.
, phương trình luôn có nghiệm.
Trang 11

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

c) Với giá trị nào của

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3. Cho phương trình
phương trình:

với

a) Có hai nghiệm phân biệt.

b) Có nghiệm kép.

là tham số. Tìm các giá trị của

c) Vô nghiệm.

để

d) Có đúng một nghiệm.

e) Có nghiệm.
Bài 4. Cho phương trình:

.

a) Giải phương trình với

.

b) Tìm các giá trị của

để phương trình có một trong các nghiệm bằng

c) Tìm các giá trị của

để phương trình trên có nghiệm kép.

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi
a)

.

các phương trình sau luôn có nghiệm:
;

b)

.

Dạng 5. Sự tương giao đồ thị
Bài 1. Cho parabol
a) Vẽ

và

và đường thẳng
trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của

và

Bài 2. Cho parabol
a) Vẽ đồ thị

.

.

và đường thẳng

.

.

b) Tìm tọa độ của các giao điểm của

và đường thẳng

Bài 3. Cho đường thẳng

.

và parabol

a) Tìm

để đường thẳng

đi qua

b) Tìm

để đường thẳng

tiếp xúc với parabol

Bài 4. Cho parabol

.

.
.

và đường thẳng

a) Tìm

để

đi qua điểm

b) Tìm

để

cắt

thỏa mãn

và đường thẳng
để

là tham số).

.

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

Bài 5. Cho parabol
trị của tham số

(

cắt

(

.

là tham số). Tìm tất cả các giá

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn

.
Dạng 6. Định lí Viète và ứng dụng
Bài 1. Cho phương trình
trình, hãy tính giá trị của biểu thức

. Gọi

là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương
.
Trang 12

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Bài 2. Giả sử
là hai nghiệm của phương trình
giá trị của các biểu thức sau:
a)

;

c)

;

. Không giải phương trình, hãy tính
b)

;

d)

.

Bài 3. Cho phương trình
a) Tìm điều kiện của

(

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa

không phụ thuộc vào tham số

Bài 4. Cho phương trình

(1) với

a) Giải phương trình (1) khi
b) Tìm

là tham số).

.

là tham số.

.

để phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt thỏa mãn

Bài 5. Cho phương trình

(1) với

a) Giải phương trình (1) khi
b) Tìm các giá trị của

.

là tham số.

.

để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

sao cho biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6. Cho phương trình

(với

a) Tìm

để phương trình đã cho có nghiệm.

b) Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

c) Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

e) Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

Bài 7. Tìm hai số
a)
c)

và
và
và

là tham số).

biết:
;

b)

;

d)

và
và

;
.

Dạng 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 1. Một tổ công nhân dự định làm
sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện,
nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm thêm được
sản phẩm so với dự định. Do đó mỗi tổ
đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định ngày. Hỏi khi thực thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm
được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 2. Một người đi xe máy từ huyện Ba Vì đến huyện Mỹ Đức cách nhau
. Khi về người đó tăng
vận tốc thêm
so với lúc đi, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc
lúc đi của xe máy.
Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng

. Diện tích của khu vườn là

. Tính chiều rộng và chiều dài mảnh vườn đó.
Trang 13

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Bài 4. Bai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 6 giờ 40 phút. Nếu họ làm
riêng thì công nhân thứ nhất hoàn thành công việc đó ít hơn công nhân thứ hai 3 giờ. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao lâu thì xong công việc?
Bài 5. Một đội xe cần vận chuyển
tấn gạo với khối lượng mỗi xe chở bằng nhau. Khi sắp khởi hành
thì được bổ sung thêm 4 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu là tấn gạo (khối lượng
mỗi xe chở vẫn bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?
2. Hình học
Dạng 1. Tính góc nội tiếp đường tròn
Bài 1. Cho tứ giác
đây.

nội tiếp đường tròn

Tính số đo các góc

, biết

.

Bài 2. Cho hình vẽ dưới đây. Tính số đo góc

Bài 3. Cho đường tròn tâm
thẳng
với
a)

như hình vẽ dưới

, đường kính

lần lượt cắt đường tròn
. Chứng minh rằng:

.

và

là một điểm nằm ngoài đường tròn. Các đường
tại điểm thứ hai

. Gọi

là giao điểm của

.

b)

.

Bài 4. Cho

và điểm
tại

và

cố định. Qua

kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn

, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn tại

và

Chứng minh rằng

Trang 14

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Bài 5. Cho tam giác

có góc

nhọn nội tiếp đường tròn

. Chứng minh rằng

.
Dạng 2. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
Bài 1. Cho tam giác
kính

vuông tại

có

. Tính cạnh

và đường tròn ngoại tiếp tam giác

theo

.

Bài 2. Đường tròn nội tiếp tam giác đều
a) Tính diện tích tam giác

có bán kính bằng

Bài 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
a) Tính các cạnh của tam giác

theo

có

theo

.

,

,

.

.

vuông tại

.

.

.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 5. Cho tam giác
kính . Tính

.

có bán kính bằng

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của

a) Tính diện tích tam giác

.

.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 4. Cho tam giác

có bán

.

, có

và

ngoại tiếp đường tròn

bán

Dạng 3. Tứ giác nội tiếp
Bài 1. Dựa vào hình vẽ sau, hãy tính số đo các góc của tứ giác

Bài 2. Cho tam giác
giao điểm của

có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao
và
.

a) Chứng minh

là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

là tứ giác nội tiếp.

Bài 3. Cho tam giác
Phân giác trong của
giác nội tiếp.

vuông tại

. Kẻ đường cao

cắt

,

lần lượt tại

, biết

và

của tam giác

và phân giác trong

của góc

. Chứng minh rằng:

. Gọi

là

.
là tứ

Dạng 4. Bài tập tổng hợp về đường tròn.
Trang 15

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Bài 1. Cho đường tròn tâm

, đường kính

thuộc cung nhỏ

(

a) Chứng minh tứ giác
b) Chứng minh tia

khác

, dây

vuông góc với

), hai đường thẳng

tại

và

. Gọi

cắt nhau

là một điểm

.

nội tiếp.
là phân giác của góc

.

c) Chứng minh
Bài 2. Cho đường tròn
đường thẳng
thẳng
.

đường kính
. Dây cung
và
cắt nhau tại
. Gọi

a) Chứng minh tứ giác

vuông góc với
,
là chân đường vuông góc kẻ từ

. Hai
đến đường

nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng
c) Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn

.

Bài 3. Cho điểm
nằm ngoài đường tròn tâm . Vẽ tiếp tuyến
các tiếp điểm. Vẽ cát tuyến
không đi qua tâm
(
và

lần lượt tại

. Gọi

là trung điểm của

a) Chứng minh:

nội tiếp.

b) Chứng minh

và

vuông tại
nội tiếp
. Từ một điểm
trên cạnh
kẻ đường thẳng
cắt
tại
và cắt tia đối của tia
tại . Gọi
là giao điểm của
cắt

a) Chứng minh tứ giác

tại

a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh
c) Gọi

và

là trung điểm của

Bài 5. Cho đường tròn
thuộc cung lớn
thẳng
và

.

nội tiếp.

b) Chứng minh
c) Gọi

.

. Chứng minh

.

có dây cung
cố định. Kẻ đường kính
). Lấy điểm
bất kì trên cung lớn
,
cắt nhau tại .

vuông góc với
tại
(
cắt
tại . Hai đường

là tứ giác nội tiếp.
.

là giao điểm của đường thẳng

d) Xác định vị trí của

.

.

Bài 4. Cho tam giác
vuông góc với
, tia

là

.

c) Chứng minh:

và

của đường tròn với
nằm giữa
và );
cắt

trên cung lớn

và

. Chứng minh

để tích

.

đạt giá trị lớn nhất.

Dạng 5. Đa giác đều
Bài 1. Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh
.

như hình vẽ. Tính các góc của tam giác

Trang 16

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

Bài 2. Cho ngũ giác đều
a)

. Gọi

là giao điểm của

và

. Chứng minh rằng:

là hình bình hành;

b)
Bài 3. Đường tròn tâm
cắt các cạnh
a) Các tam giác

và

nội tiếp hình vuông

, tiếp điểm trên

lần lượt ở

. Chứng minh rằng

là

. Một tiếp tuyến với

đồng dạng.

b)
3. Một số bài toán khác
Bài 1. Cho các số

dương thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

Bài 2. Cho

là các số thực dương thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.
Bài 3. Một gia đình muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp với chiều dài
và chiều cao

có thể tích bằng

, chiều rộng

. Để xây dựng bể chứa nước này, gia đình đó cần phải

trả
đồng cho mỗi mét vuông để xây hai mặt đáy của bể và
đồng cho mỗi
mét vuông để xây bốn mặt bể. Tính chi phí tối thiểu gia đình đó phải trả để xây bể chứa nước.
Bài 4. Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi là
để xây dụng một
vườn hoa. Với chiều rộng của khu vườn, tìm để diện tích vườn hoa xây được là lớn nhất.
Bài 5. Nhận dịp Tết Trung Thu, câu lạc bộ sinh viên muốn kinh doanh đèn ông sao. Chi phí để hoàn thiện
mỗi chiếc đèn ông sao là nghìn đồng. Với giá bán
nghìn đồng cho mỗi chiếc đèn ông sao,
câu lạc bộ bán được
chiếc đèn. Để bán được nhiều đèn ông sao, câu lạc bộ sinh viên dự định
giảm giá bán và ước tính rằng theo tỉ lệ cứ giảm giá nghìn đồng mỗi chiếc đèn thì số lượng bán ra
tăng thêm
chiếc. Vậy câu lạc bộ nên bán mỗi chiếc đèn với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá
thu được lợi nhuận cao nhất?
Bài 6. Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác
nhau. Giá bán của một viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên
Trang 17

LÊ HUY TIẾN-0397984561-VISIP I

kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu
được tăng hay giảm? Trong trường hợp nào giá kim cương ban đầu giảm nhiều nhất?
------HẾT------

Trang 18